构造表达式，分析表达式的性质

例题1：证明：${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{1+x^2}dx<{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos x}{1+x^2}dx$

解题思路点：

1. 构造函数：$f(x)=\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}$
2. 分析函数，由上面的构造函数容易得到$f(x)$关于$x=\frac{\pi }{4}$，将原积分式变形为：

$$\begin{array}{l}{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx-{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx\\ ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin x-\cos x}{1+x^2}dx+{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}\frac{\sin t-\cos t}{1+{(\frac{\pi }{2}-x)}^2}dt<0\end{array}$$

得证。

---

**例题2：**设函数$f(x)$在$[0,1]$上可导，且$f(1)-f(0)=1$，证明：${\int }_0^1{(f^{\prime }(x))}^{2}dx\ge 1$ **解题思路点：** 1. 题中积分式子包含平方，首先可以想到**柯西-施瓦兹**不等式：

$$({\int }_a^{b}f(x)g(x)dx{)}^2\le {\int }_a^b{f}^2(x)dx\ast {\int }_a^b{g}^2(x)dx$$

1. 根据柯西-施瓦兹不等式构造：

$${\int }_0^1{(f^{\prime }(x))}^{2}dx\ge ({\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx{)}^2=1$$

得证。

---

**例题3：**设函数$f(x)$在$[a,b]$上可导，$f^{\prime }(x)$在$[a,b]$上可积，且$f(a)+f(b)=0$，证明：$|f(x)|\le \frac{1}{2}{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx$ **解题思路点：** 1. 分析题目右边所给的表达式其被积函数在$[a,b]$区间有正有负。构造表达式 $$\begin{array}{l}{\int }_a^x{f}^{\prime }(x)dx=f(x)-f(a)\\ {\int }_x^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(x)\end{array}$$ 1. 将上面构造的表达式进行初等变换： $$\begin{array}{l}2f(x)={\int }_a^x{f}^{\prime }(x)dx-{\int }_x^b{f}^{\prime }(x)dx\\ =>2|f(x)|\le |{\int }_a^x{f}^{\prime }(x)dx|+|{\int }_x^b{f}^{\prime }(x)dx|\\ f(x)<\frac{1}{2}{\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx\end{array}$$ 得证。 ## 拉格朗日中值定理的应用（二) **例题4：**设函数$f(x)$在$[a,b]$上有连续的导数，且$f(a)=0$，证明：$\frac{2}{{(b-a)}^2}{\int }_a^b|f(x)|dx\le M$，其中$M=\underset{a\le x\le b}{max}|f^{\prime }(x)|$ **解题思路点：** 1. 因为$f(x)={\int }_a^x{f}^{\prime }(x)dx$，根据拉格朗日中值定理，

$$|f(x)|=|{\int }_a^x{f}^{\prime }(x)dx|\le {\int }_a^x|f^{\prime }(x)|dx\le (x-a)M$$

1. 根据上面的不等式可以得到：
   $${\int }_a^b|f(x)|dx\le {\int }_a^b(x-a)Mdx\le \frac{b^2-2ab}{2}M\le \frac{b^2-2ab+a^2}{2}M$$

得证。

---

例题5：设函数$f(X)$在$[a,b]$上有连续的导数，且$f(a)=f(b)=0$，求证${\int }_a^b|f(x)|dx\le \frac{{(b-a)}^2}{4}M$，其中$M=\underset{a\le x\le b}{max}|f^{\prime }(x)|$

解题思路点：

1. 因为函数在$$上具有连续的导数:

   $$
2. $$，对于:
   $$

得证。

泰勒展开式和拉格朗日中值定理综合应用

例题6:设函数 $$二阶可导，且$$和$$为连续函数，对于任意的 $$，证明：$$

解题思路点：

1. 对函数进行泰勒展开：

   $$

2. 令$$，上式变形为：

$$

对两边求积分：

$$

又因为：$$

得证。

---

例题7：设函数$$在$$有二阶连续的导数，且$$，证明：$$，其中$$。

解题思路点：

1. 讲函数泰勒展开：

$$

1. 对上面不等式两边求积分：

$$ 得证。 **例题8：**设函数$$在$$有二阶连续的导数，且$$，求证：$$

解题思路点：

1. 由题目的已知条件可以得到存在$$

1. 函数在$$和$$区间满足拉格朗日中值定理条件：

$$

1. 对题中所给表达式进行变形：

$$

得证。

---

例题9：设函数$$在$$有二阶连续的导数，且$$，证明：存在$$，使得:

$$

解题思路点：

1. 令：

   $$

2. 两式相加：

$$

1. 因为$$在$$连续，所以存在$$。得证

三角函数的变形

例题10：证明：$$，$$为常数。

解题思路点：

1. 解决这题需要消去被积函数中的正弦函数指数和余弦函数指数。因此对第一个表达式作变换：

$$

1. 利用柯西-施瓦兹^[1]不等式消去三角函数：

$$

得证。

计算被积函数的原函数

例题11：求$$

解：

$$

---

例题：12求：

$$

解：

$$

例题13：求：$$

解：

$$

例题14：求：

$$

解：

$$

---

例题15：求：$$

$$

例题16：求：$$

解：令$$，则$$,$$

$$

参考资料

1. 柯西-施瓦兹不等式 ↩